Question

已知曲线y=x lnx（x＞

1

e

）在点（t，t lnt）处的切线l交x轴于点A，交y轴于点B，△AOB（O为坐标原点）的面积为S．
（Ⅰ）试写出S关于t的函数关系式；
（Ⅱ）求面积S的最小值；
（Ⅲ）若S≥

t+1

a(1+lnt)

对于t＞

1

e

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据曲线y=xlnx(x＞

1

e

)在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt再设A（m，0），B（0，n），得出关于t，m，n的方程得

m= t 1+lnt n=-t

，从而写出S关于t的函数关系式即可；
（2）记S=g(t)=

t2

2(1+lnt)

，先求导数S′=g′(t)=

t(1+2lnt)

2(1+lnt)2

，利用导数研究其单调性及最值，从而得出面积S的最小值为；
（3）由S≥

t+1

a(1+lnt)

，得

t2

2

≥

t+1

a

对t＞

1

e

恒成立．记u(t)=

t2

2

-

t+1

a

，求出其导数u′(t)=t-

1

a

，利用职权导数研究它的单调性，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）曲线y=xlnx(x＞

1

e

)在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt，（1分）
设A（m，0），B（0，n），
则

0-tlnt=(1+lnt)(m-t) n-tlnt=(1+lnt)(0-t)

（2分）
解得

m= t 1+lnt n=-t

所以S=

1

2

|mn|=

t2

2|1+lnt|

，注意到t＞

1

e

时，1+lnt＞0，
故S=

t2

2(1+lnt)

(t＞

1

e

)为所求．（4分）
（2）记S=g(t)=

t2

2(1+lnt)

，则S′=g′(t)=

t(1+2lnt)

2(1+lnt)2

，
∵t＞

1

e

，∴

1

e

＜t＜

1

e

时，S'＜0；t＞

1

e

时，S'＞0，
即函数S=g（t）在(

1

e

，

1

e

)上单调递减，在(

1

e

，+∞)上单调递增，（6分）Smin=g(

1

e

)=

1 e

2(1+ln 1 e )

=

1

e

，
所以面积S的最小值为

1

e

，当且仅当t=

1

e

时取到．（8分）
（3）由S≥

t+1

a(1+lnt)

，及1+lnt＞0得，

t2

2

≥

t+1

a

对t＞

1

e

恒成立．
记u(t)=

t2

2

-

t+1

a

，则u′(t)=t-

1

a

，
当

1

a

≤

1

e

，即a＜0或a≥e时，u'（t）＞0恒成立，
此时u（t）在(

1

e

，+∞)上单调递增，∴

a＜0或a≥e u( 1 e )= 1 2e2 - 1 e +1 a ≥0

（10分）
解得a＜0或a≥2e²+2e，
当

1

a

＞

1

e

，即0＜a＜e时，u′(t)＞0?t＞

1

a

，
所以函数u（t）在(

1

e

，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，+∞)上单调递增，
此时u(t)min=u(

1

a

)=

1

2a2

-

1 a +1

a

，∴

0＜a＜e 1 2a2 - 1 a +1 a ≥0

解得a∈?，
综上，a＜0或a≥2e²+2e为所求．（12分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．