Question

运行如图所示的程序框图，将输出的a依次记作a₁，a₂，…，a_n；输出的b依次记作b₁，b₂，…b_n；输出的S依次记作S₁，S₂，…，S_n．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

bn+1

an+1

-

1+bn

an

(n∈N*，n≤2014)的值
（3）求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜

10

3

b1b2…bn(n∈N*，n≤2014)．

Answer 1

分析：（1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，从而易得a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的通项公式可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+

1

an-1

，b_n=a_n•S_n，而S_n=S₁+

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

，从而可得

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

，

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

，于是易求

bn+1

an+1

-

1+bn

an

（n∈N^*，n≤2014）的值；
（3）由（2）知，知

1+bn

bn+1

=

an

an+1

，b₁=a₁=1，b₂=3，a₂=3，于是易求

(1+b1)(1+b2)…(1+bn) b1•b2…bn

=2（

1

an

+

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

），将所证的关系式转化为证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

5

3

即可，即证1+

1

3

+

1

7

+…+

1

2n-1

＜

5

3

，利用放缩法可证得结论．

解答：解：（1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*，n≤2014）．
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，
当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+

1

an-1

，b_n=a_n•S_n，
此时，S_n=S₁+

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

，
∴b_n=a_n（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

），
∴

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

，
∴

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

，
∴

bn+1

an+1

-

bn

an

=

1

an

，
∴

bn+1

an+1

-

1+bn

an

=0，
当n=1时，

b2

a2

-

1+b1

a1

=

3

3

-

1+1

1

=-1，
综上，

bn+1

an+1

-

1+bn

an

=

-1，n=1 0，2≤n≤2014

；
（3）当n=1时，左=1+b₁=2，右=

10

3

b₁=

10

3

，
此时，1+b₁＜

10

3

b₁，
当2≤n≤2014时，由（2）知

1+bn

bn+1

=

an

an+1

，
又b₁=a₁=1，b₂=3，a₂=3，
∴

(1+b1)(1+b2)…(1+bn) b1•b2…bn

=

1+b1

b1b2

•

1+b2

b3

•

1+b3

b4

…

1+bn-1

bn

•（1+b_n）
=

2

3

•

a2

a3

•

a3

a4

…

an-1

an

•（1+b_n）
=

2

3

•

a2

an

•（1+b_n）
=2•（

1

an

+

bn

an

）
=2（

1

an

+

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

）
即要证明的不等式转化为证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

＜

5

3

，
即证明1+

1

3

+

1

7

+…+

1

2n-1

＜

5

3

，
又a_n=2ⁿ-1=4•2^n-2-1＞3•2^n-2（n≥3），
∴1+

1

3

+

1

7

+…+

1

2n-1

＜1+

1

3

+

1

3•2

+

1

3•22

+…+

1

3•2n-2

=1+

1 3 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=1+

2

3

（1-

1

2n-1

）＜1+

2

3

=

5

3

．
∴（1+b₁）（1+b₂）…（1+b_n）＜

10

3

b₁b₂…b_n．
综上，（1+b₁）（1+b₂）…（1+b_n）＜

10

3

b₁b₂…b_n（n∈N^*，n≤2014）成立．

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推式的应用，考查程序框图的理解与应用，突出等价转化思想与抽象思维能力的考查，属于难题．