Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点，且离心率等于，直线与椭圆C交于M，N两点。

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）椭圆C的右焦点F是否可以为的垂心？若可以，求出直线的方程；若不可以，请说明理由。

Answer 1

（1）；

   （2）当且仅当直线的方程为时，椭圆C的右焦点F是可以为的垂心

解析:

（1）设椭圆C的方程：,

       由题意知

       又，即

       ………………………4分

   （2）假设存在直线使得是的垂心，易得直线BF的斜率为-1，

       从而直线的斜率为1，可设直线的方程为，代入，

       并整理得

设

       则…………………6分

      

      

      

       …………………8分

       解得…………………9分

       当时点B为直线与椭圆的一个交点，不合题意；

       当时，经检验知直线与椭圆相交两点，且满足符合题意；

       综上得当且仅当直线的方程为时，椭圆C的右焦点F是可以为的垂心……………………12分