Question

8．已知$\overrightarrow{A{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{A{B}_{2}}$，|AB₁|=3，|AB₂|=4，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\frac{μ}{4}$$\overrightarrow{A{B}_{2}}$．
（1）若B₁，P，B₂三点共线，求|$\overrightarrow{AP}$|的最小值，并用$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{2}}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（2）设Q是AB₁B₂的内心，若|$\overrightarrow{QP}$|≤2，求$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}P}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用B₁，P，B₂三点共线，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\frac{μ}{4}$$\overrightarrow{A{B}_{2}}$，可求得$\frac{λ}{3}$+$\frac{μ}{4}$=1；再结合$\overrightarrow{A{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{A{B}_{2}}$，|AB₁|=3，|AB₂|=4，可得|$\overrightarrow{AP}$|²=λ²+μ²=$\frac{25}{16}$μ²-$\frac{9}{2}$μ+9，于是可求得|$\overrightarrow{AP}$|的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{2}}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（2）以A为原点，AB₁、AB₂所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B₁（3，0），B₂（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用|$\overrightarrow{QP}$|²=（λ-1）²+（μ-1）²≤4，再令λ-1=rcosθ，μ-1=sinθ（0＜r≤2）可得$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}P}$=λ²+μ²-3λ-4μ=r²-rcosθ-2rsinθ-5，利用辅助角公式及配方法即可求得$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}P}$∈[-$\frac{25}{4}$，2$\sqrt{5}$-1]．

解答 解：（1）∵B₁，P，B₂三点共线，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\frac{μ}{4}$$\overrightarrow{A{B}_{2}}$，
∴$\frac{λ}{3}$+$\frac{μ}{4}$=1．
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{A{B}_{2}}$，|AB₁|=3，|AB₂|=4，
∴|$\overrightarrow{AP}$|²=$\frac{{λ}^{2}}{9}$|$\overrightarrow{{AB}_{1}}$|²+$\frac{{μ}^{2}}{16}$|$\overrightarrow{{AB}_{2}}$|²=λ²+μ²=$\frac{25}{16}$μ²-$\frac{9}{2}$μ+9，
当$μ=\frac{36}{25}$时，|$\overrightarrow{AP}$|_min=$\frac{12}{5}$，此时$λ=\frac{48}{25}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{16}{25}$$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\frac{9}{25}$$\overrightarrow{A{B}_{2}}$；
（2）以A为原点，AB₁、AB₂所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B₁（3，0），B₂（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），|$\overrightarrow{QP}$|²=（λ-1）²+（μ-1）²≤4，
令λ-1=rcosθ，μ-1=sinθ，0＜r≤2．
$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（λ-3，μ），$\overrightarrow{{B}_{2}P}$=（λ，μ-4），
$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}P}$=λ²+μ²-3λ-4μ=r²-rcosθ-2rsinθ-5
=r²-$\sqrt{5}$rsin（θ+φ）-5，其中tanφ=$\frac{1}{2}$．
又r²-$\sqrt{5}$rsin（θ+φ）-5≤r²+$\sqrt{5}$r-5≤2$\sqrt{5}$-1，
r²-$\sqrt{5}$rsin（θ+φ）-5≥r²-$\sqrt{5}$r-5=（r-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²-$\frac{25}{4}$≥-$\frac{25}{4}$，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}P}$∈[-$\frac{25}{4}$，2$\sqrt{5}$-1]．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．