Question

已知圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点为圆心的圆N与圆M相内切．
（1）求圆N的方程；
（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求

DE

•

DF

的取值范围；
（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析：化简圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0，为标准方程，求出圆心和半径．
（1）判定圆心N在圆M内部，因而内切，用|MN|=R-r，求圆N的方程；
（2）根据圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列出关系，再求

DE

•

DF

的表达式的取值范围；
（3）直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k．得到直线MA的方程，直线MB的方程，联立方程组，求出AB的斜率，判定与MN的斜率是否相等即可．

解答：解：圆M的方程可整理为：（x-1）²+（y-1）²=8，故圆心M（1，1），半径R=2

2

．
（1）圆N的圆心为（0，0），
因为|MN|=

2

＜2

2

，所以点N在圆M内，
故圆N只能内切于圆M．
设其半径为r．
因为圆N内切于圆M，
所以有：|MN|=|R-r|，
即

2

=|2

2

-r|，解得r=

2

．
或r=3

2

（舍去）；
所以圆N的方程为
x²+y²=2．
（2）由题意可知：E（-

2

，0），F（

2

，0）．
设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即：

(x+ 2 )2+y2

×

(x- 2 )2+y2

=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
而=（-

2

-x，-y），
=（

2

-x，-y），•
=（-

2

-x）（

2

-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，由于点D在圆N内，
故有

x2+y2＜2  x2-y2=1

，由此得y²＜

1

2

，所以

DE

•

DF

∈[-1，0）．
（3）因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，
且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k．故直线MA的方程为
y-1=k（x-1），
直线MB的方程为
y-1=-k（x-1），
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因为点M在圆N上，故其横坐标x=1一定是该方程的解，
可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

，
同理可得：x_B=

k2+2k-1

1+k2

，
所以k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_MN．
所以，直线AB和MN一定平行．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，等差数列的性质，圆的公切线方程等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．