Question

（理）已知半球的半径为R，点A、B、C都在底面圆O的圆周上，且AB为圆O的直径，BC=2．半球面上的一点到平面ABC的距离为R，又二面角D-AC-B的平面角余弦值为，则该半球的表面积是________．

Answer 1

6π
分析：由AB是底面圆O的直径，知∠ACB=90°．由半球的半径为R，DO⊥底面圆O，知DO=R，作OE⊥AC，交AC于E，连接DE，则∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，由二面角D-AC-B的平面角余弦值为，BC=2，解得R=．由此能求出该半球的表面积．
解答：解：∵AB是底面圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵半球的半径为R，DO⊥底面圆O，
∴DO=R，
作OE⊥AC，交AC于E，连接DE，
则∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
∵二面角D-AC-B的平面角余弦值为，BC=2，
∴OE=，
==，
解得R=．
∴该半球的表面积S=+πR²=4π+2π=6π．
故答案为：6π．
点评：本题考查球的性质和二面角的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．