Question

下列几个命题
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0．
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数．
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．
④设函数y=f（x）定义域为R且满足f（x-1）=f（1-x），则函数y=f（x）的图象关于y轴对称．
⑤曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确的有

 

．

Answer 1

分析：用根的分布来解，令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，一个比0大，一个比0小，只要f（0）＜0即可．
函数 y=

x2-1

+

1-x2

=0，既是偶函数，又是奇函数；函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-2，2]；设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（1-x），则它的图象关于x=0对称；一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，画出函数的图象，根据图象进行判断：m的值不可能是1．

解答：解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；正确；
②函数 y=

x2-1

+

1-x2

=0，函数的定义域为{-1，1}，∴y=0既是奇函数又是偶函数既是偶函数，故②不正确；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-2，2]．故③不正确；
④设函数y=f（x）定义域为R且满足f（x-1）=f（1-x），则有：f（-x）=f（x），它的图象关于y轴对称．故④正确；
⑤一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，根据函数y=|3-x²|的图象可知：m的值不可能是1．故⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评：考查了函数思想，转化思想，属中档题，是个基础题．还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，数形结合法是解答本类题的重要方法．