Question

已知f（x）=（1+x）lnx，g（x）=a（1-x）．
（1）是否存在实数a，使g（x）是f（x）在x=1处的切线？
（2）若f（x）＜-2g（x）对?x∈（0，1）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,全称命题

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=lnx+

1

x

+1，从而得到f（1）=0，f′（1）=2；从而求切线方程；
（2）f（x）＜-2g（x）可化为（1+x）lnx+2a（1-x）＜0，从而可得-2a＞

(1+x)lnx

1-x

对?x∈（0，1）成立，令h（x）=

(1+x)lnx

1-x

，从而求导h′（x）=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，再令F（x）=2lnx+

1-x2

x

，求导F′（x）=

2

x

+

-2x2-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0，从而求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（1+x）lnx，f′（x）=lnx+

1

x

+1；
∴f（1）=0，f′（1）=2；
故f（x）在x=1处的切线为y=2（x-1）；若g（x）是f（x）在x=1处的切线，
则a=2；
（2）f（x）＜-2g（x）可化为（1+x）lnx+2a（1-x）＜0；
即-2a＞

(1+x)lnx

1-x

对?x∈（0，1）成立；
令h（x）=

(1+x)lnx

1-x

，∴h′（x）=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，
令F（x）=2lnx+

1-x2

x

，
∵F′（x）=

2

x

+

-2x2-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0，
∴F（x）=2lnx+

1-x2

x

在（0，1）上是减函数，
且h′（1）=0，
∴h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上是增函数，
且h（1）→-2，
∴-2a＞-2，即a＜1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．