Question

椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析，.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A₂(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到 或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.
试题解析：（1）由题： ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：②               2分
由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b ² = a ²－c ² = 3．                               3分   
∴所求椭圆 C 的方程为．               4分
（2）设 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得
(4k ² + 3) x ² + 8kmx + 4m ²－12 = 0．
∴，，           6分
且y₁ = kx₁ + m，y₂ = kx₂ + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A₂(2,0) ，所以．              7分
所以 (x₁－2,y₁)·(x₂－2,y₂) = (x₁－2) (x₂－2) + y₁y₂ = (x₁－2) (x₂－2) + (kx₁ + m) (kx₂ + m)
= (k ² + 1) x₁x₂ + (km－2) (x₁ + x₂) + m ² + 4
= (k ² + 1)·－(km－2)·+ m ² + 4 =" 0" ．                        10分
整理得 7m ² + 16km + 4k ² = 0．∴ 或 m = －2k 都满足 △ > 0．         12分
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A₂(2,0)，不合题意舍去；   13分
若时，直线 l 为， 恒过定点  ．          14分