Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）已知及圆与x轴的交点即可得到椭圆的焦点，进而得到椭圆的标准方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系能求出m的值．

解答： 解：（1）圆D：（x-2）²+y²=1的圆心（2，0），半径r=1．
令y=0，得（x-2）²=1，解得x=3或1．
∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，a=

3+1

＜

10

，故舍去．
∴c=3，a²=b²+c²=3+3²=12．
故椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x=my+3 x2 12 + y2 3 =1

，得（m²+4）y²+6my-3=0，
∴y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=

-3m2

m2+4

+

-18m2

m2+4

+9
=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

36-12m2-3

m2+4

=0
解得m=±

11

2

．

点评：本题综合考查了：椭圆与圆的标准方程及其性质，把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系，三角形的面积计算公式，基本不等式的性质等．需要较强的推理能力和计算能力．