Question

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．
（1）求腰梁BF与DE所成角的大小；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

Answer 1

解：（1）如下图，过点E作EK∥FB交AB于点K，
则∠DEK为异面直线DE与FB所成的角，

∵DE=FB=4，EA，EK与AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=，
在三角形DEK中，∵DE²+EK²=4²+4²=32=DK²，∴∠DEK=90°，
∴腰梁BF与DE所成的角为90°；
（2）如上图，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，连接MN，则AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，过点E作EO⊥MN于点O，则EO⊥平面ABCD
由题意知，AE=DE=AD=4，
AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=，
∴O为MN中点，∴EO=，即四棱锥E-AMND的高为，
同理，再过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥CD于点Q，连接PQ，
原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP=16-2-2=12．
∴多面体的体积V=2V_E-AMND+V_PQF-MNE
=．
答：该粮仓可储存立方米的粮食．
分析：（1）根据异面直线所成角的概念，过E作EK∥FB，连接DK，则DEK为异面直线DE与FB所成的角，然后通过求解三角形即可得到两异面直线所成角；
（2）要求原多面体的体积，可以把原多面体分割成我们熟悉的柱体及椎体求体积分别过E，F作两底梁的垂线，连接两垂足后分割完成，然后直接利用柱体及锥体的体积求解．
点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，考查了利用割补法求几何体的体积，属中档题．