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    设A是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：
    ①
    an+an+2
    2
    ≤an+1    ；     ②an≤M．其中n∈N*，M是与n无关的常数．
    （Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈A；
    （Ⅱ）对于（Ⅰ）中数列{an}，正整数n1，n2，…，nt…（t∈N*）满足7＜n1＜n2＜…＜nt＜…（t∈N*），并且使得a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比数列． 若bm=10m-nm（m∈N*），则{bm}∈A是否成立？若成立，求M的取值范围，若不成立，请说明理由；
    （Ⅲ）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈A，证明：cn≤cn+1．
    （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，
    则a1+2d=4，3a1+3d=18，
    解得a1=8，d=-2．，
    所以Sn=na1+
    n(n-1)
    2
    d=-n2+9n    ．
    由
    Sn+Sn+2
    2
    -Sn+1=
    1
    2
    [(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]＜0    ，
    得 
    Sn+Sn+2
    2
    ＜Sn+1    ，适合条件 ①．
    又Sn=-n2+9n=-(n-
    9
    2
    )2+
    81
    4
    ，
    所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，
    即Sn≤20，适合条件 ②．
    所以，{Sn}∈A．4分
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得a1=8，d=-2，
    故an=8-2（n-1）=10-2n，
    因此a6=-2，a7=-4．
    因为a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比数列，
    故q=
    a7
    a6
    =2    ．
    所以ant=a6•qt+1=-2•2t+1．
    又ant=10-2nt，所以nt=2t+1+5．
    从而bm=10m-2m+1-5．
    因为
    bm+bm+2
    2
    -bm+1=
    (10m-2m+1-5)+[10(m+2)-2m+3-5]
    2
    -[10（m+1）-2m+2-5]=-2m＜0，
    故
    bm+bm+2
    2
    ＜bm+1    ．
    又b1＜b2＜b3，并且b3＞b4＞b5＞…，
    而b3=10×3-23+1-5=9，
    故当m∈N*时，bm≤9．
    综上，当m∈N*时，{bm}∈A，此时M的取值范围是[9，+∞）．9分
    （Ⅲ）假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立．
    由数列{cn}的各项均为正整数，
    可得ck≥ck+1+1，即ck+1≤ck-1．
    ∵
    ck+1+ck+2
    2
     ≤ck+2    ，
    ∴ck+2≤2ck+1-ck
    ≤2（ck-1）-ck
    =ck-2，
    由ck+2≤2ck+1-ck及ck＞ck+1，
    得ck+2＜2ck+1-ck+1=ck+1，
    故ck+2≤ck+1-1．
    ∵
    ck+1+ck+3
    2
    ≤ck+2    ，
    ∴ck+3≤2ck+2-ck+1≤2（ck+1-1）-ck+1=ck+1-2≤ck-3，
    依此类推，可得ck+m≤ck-m（m∈N*）．
    设ck=p（p∈N*），则当m=p时，有ck+p≤ck-p=0，
    这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾．
    所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立．14分．
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