Question

如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=

3

3

．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2

3

，求AB的长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2

3

，利用正弦定理求解AB的长．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，cosB=

3

3

，
所以 cosD=cos2B=2cos2B-1=-

1

3

．…（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以 sinD=

1-cos2D

=

2 2

3

．…（5分）
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S=

1

2

AD•CD•sinD=

1

2

×1×3×

2 2

3

=

2

．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=12．
所以 AC=2

3

．…（9分）
因为 BC=2

3

，

AC

sinB

=

AB

sin∠ACB

，…（11分）
所以 

2 3

sinB

=

AB

sin(π-2B)

=

AB

sin2B

=

AB

2sinBcosB

=

AB

2 3 3 sinB

．
所以 AB=4．…（13分）

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．