Question

已知向量

OA

，

OB

为单位向量，且

OA

•

OB

=

1

4

，点C是向量

OA

，

OB

的夹角内一点，|

OC

|=4，

OC

•

OB

=

7

2

，若数列{a_n}满足

OC

=

3an+1(an+1)

2an

OB

+a1

OA

，则a₆=（　　）

• A．

  64

  63

• B．

  12

  7

• C．64
• D．12

Answer 1

分析：根据

OB

•

OC

=

7

2

列出一个关系式①，再根据

OA

•

OB

=

1

4

，可以求得

OA

与

OB

夹角的余弦值，同理可以求出

OB

与

OC

夹角的余弦值，再根据角之间的关系，可以求得

OA

与

OC

的夹角的余弦值，从而利用

OA

•

OC

列出一个等式②，联立①②即可得a₁和递推关系，根据递推关系即可求得．

解答：解：∵

OC

=

3an+1(an+1)

2an

OB

+a1

OA

，
∴

OB

•

OC

=

3an+1(an+1)

2an

OB

•

OB

+a1

OA

•

OB

∵向量

OA

，

OB

为单位向量，且

OA

•

OB

=

1

4

，

OC

•

OB

=

7

2

，
∴

7

2

=

3an+1(an+1)

2an

+

1

4

a₁  ①
设

OA

与

OB

的夹角为θ，

OB

与

OC

的夹角为α，

OA

与

OC

的夹角为β，

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=

1

4

，∴cosθ=

1

4

，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=

15

4

，

OB

•

OC

=|

OB

||

OC

|cosα=

7

2

，∴cosα=

7

8

，∵α∈[0，π]，∴sinα=

15

8

，
∴cosβ=cos（θ-α）=cosθcosα+sinθsinα=

1

4

×

7

8

+

15

4

×

15

8

=

11

16

∴

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cosβ=1×4×

11

16

=

11

4

OA

•

OC

=

3an+1(an+1)

2an

OA

•

OB

+a₁

OA

•

OA

，
即

11

4

=

3an+1(an+1)

2an

×

1

4

+a₁  ②
由①②可解得，a₁=2，

3an+1(an+1)

2an

=3，
由

3an+1(an+1)

2an

=3可得an+1=

2an

an+1

，
∴a2=

2a1

a1+1

=

4

3

，a3=

2a2

a2+1

=

8

7

，a4=

2a3

a3+1

=

16

15

，a5=

2a4

a4+1

=

32

31

，a6=

2a5

a5+1

=

64

63

，
故选A．

点评：本题考查了平面向量的数量积、三角函数求值、数列的递推公式，综合性非常强，对学生的要求很高，属于难题．