Question

关于函数，给出下列命题：
①若函数f（x）是R上周期为3的偶函数，且满足f（1）=1，则f（2）-f（-4）=0；
②若函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2 013，则f（x）是周期函数；
③若函数g（x）=

x-1，x＞0 f(x)，x＜0

是偶函数，则f（x）=x+1；
④函数y=

log 1 3 |2x-3|

的定义域为（

3

2

，+∞）．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①利用函数的周期性和奇偶性求值判断．②利用周期函数的定义证明．③利用偶函数的定义推导．④利用函数的性质求函数的定义域．

解答：解：①因为函数f（x）是R上周期为3的偶函数，所以f（2）-f（-4）=f（2-3）-f（-4+3）=f（-1）-f（1）=f（1）-f（1）=0，所以①正确．
②由f（x+1）f（x）=2 013，得f（x）≠0，所以f（x+1）f（x）=f（x+1）f（x+2）=2 013，即f（x+2）=f（x），所以函数f（x）是周期为2的周期函数，所以②正确．
③当x＜0时，-x＞0，所以g（-x）=-x-1，因为g（x）是偶函数，所以g（-x）=-x-1=g（x）=f（x），即x＜0时，f（x）=-x-1，所以③错误．
④要使函数有意义，则有log

1

3

|2x-3|≥0，即0＜|2x-3|≤1，所以0＜2x-3≤1或-1≤2x-3＜0，解得

3

2

＜x≤2或1≤x＜

3

2

，所以④错误．
故答案为：①②．

点评：本题考查的函数的基本性质，对应函数的奇偶性，周期性和对称性等性质要熟练掌握定义和公式．