Question

已知直线x-y+1=0经过椭圆S：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（1）在直线x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，故c=b=1，a²=2，由此能求出椭圆方程．
（2）①M(-

2

，0)，N（0，-1），M、N的中点坐标为（-

2

2

，-

1

2

），所以k=

2

2

②法一：将直线PA方程y=kx代入

x2

2

+y2=1，解得x=±

2

1+2k2

，记

2

1+2k2

=m，则P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），故直线AB方程为y=

0+mk

m+m

(x-m)=

k

2

(x-m)，代入椭圆方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，由此能够证明PA⊥PB．
法二：设P（x₀，y₀），A（-x₀，-y₀），B（x₁，y₁），则C（x₀，0），由A、C、B三点共线，知

y1

x1-x0

=

y0

2x0

=

y1+y0

x1+x0

，由此能够证明PA⊥PB．

解答：解：（1）在直线x-y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由题意得c=b=1，
∴a²=2，
则椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）①M(-

2

，0)，N（0，-1），
M、N的中点坐标为（-

2

2

，-

1

2

），
所以k=

2

2

．
②解法一：将直线PA方程y=kx代入

x2

2

+y2=1，
解得x=±

2

1+2k2

，
记

2

1+2k2

=m，
则P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直线AB方程为y=

0+mk

m+m

(x-m)=

k

2

(x-m)，
代入椭圆方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，
由xB+xA=

2k2m

k2+2

，
因此B(

m(3k2+2)

k2+2

，

mk3

k2+2

)，
∴

AP

=(2m，2mk)，

PB

=(

m(3k2+2)

k2+2

-m，

mk3

k2+2

-mk)=(

2mk2

k2+2

，

-2mk

k2+2

)，
∴

AP

•

PB

=

2mk2

k2+2

×2m+

-2mk

k2+2

×2mk=0，
∴

PA

⊥

PB

，故PA⊥PB．
解法二：由题意设P（x₀，y₀），A（-x₀，-y₀），B（x₁，y₁），则C（x₀，0），
∵A、C、B三点共线，
∴

y1

x1-x0

=

y0

2x0

=

y1+y0

x1+x0

，
又因为点P、B在椭圆上，
∴

x02

2

+y02=1，

x12

2

+y12=1，
两式相减得：kPB=-

x0+x1

2(y0+y1)

，
∴kPAkPB=

y0

x0

[-

x0+x1

2(y0+y1)

]=-

(y1+y0)(x0+x1)

(x1+x0)(y0+y1)

=-1，
∴PA⊥PB．

点评：本题考查直线和椭圆的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．