Question

（2013•威海二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

6

3

，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为

2 6

3

+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：

ND • MP

AB 2

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

6

3

得

c

a

=

6

3

，由过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为

2 6

3

+2，得（a+c）•

b2

a

=

2 6

3

+2，结合a²=b²+c²求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出过M点的直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由判别式大于0求出斜率k的范围，由中点坐标公式得到N点的坐标，求出直线NP的方程，取x=0得到P点坐标，求出向量

ND

，

MP

，

AB

的坐标后直接代入

ND • MP

AB 2

化简运算．

解答：（Ⅰ）解：由题意可得

c a = 6 3 (a+c)• b2 a = 2 6 3 +2 a2=b2+c2

，解得

a= 6 b= 2

，
∴椭圆的标准方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+2

，整理得（3k²+1）x²+12kx+6=0．
∵直线AB与椭圆有两个公共点，∴△=（12k）²-4（3k²+1）•6＞0?3k²-1＞0
∴k＞

3

3

或k＜-

3

3

．
由x1+x2=

-12k

3k2+1

，x1x2=

6

3k2+1

．
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[

144 k 2

(3k2+1)2

-

24

1+3k2

]
=

24(1+k2)(3k2-1)

(1+3k2)2

．
设N（x'，y'），则x′=

x1+x2

2

=

-6k

3k2+1

，y′=kx′+2=

2

3k2+1

∴直线NP的方程y-

2

1+3k2

=-

1

k

(x+

6k

1+3k2

)，
令x=0，得yP=

-4

1+3k2

，

∴

ND

=(0，

3k2-1

1+3k2

)，

MP

=(0，

-6k2-6

1+3k2

)．

∴

ND • MP

AB 2

=

-6(1+k2)(3k2-1)

24(1+k2)(3k2-1)

=-

1

4

．即为定值

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，解答此题的关键是把三个向量的坐标都用直线的斜率k表示，体现了整体运算思想，是难题．