Question

已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将代入消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，由△＞0，知-2＜m＜2．再由x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，知弦AB中点M的轨迹方程是在椭圆内部部分．
（2）先设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根据斜率公式即可求出结果．
解答：解：（1）将代入，
消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-16（4m²-12）=48（4-m²）＞0，
-2＜m＜2．
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
，，
∴弦AB中点M的轨迹方程是在椭圆内部部分．（6分）
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），A、B两点在直线上
∴
=（12分）
点评：本题考查直线 与圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．