Question

设x、y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.?

Answer 1

证明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,

当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|.

当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+ y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.?

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得

(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².?

|xy|=xy.∴xy≥0.

温馨提示:充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.

判断命题的充要关系有三种方法:

(1)定义法.

(2)等价法,即利用AB与BA；BA与AB；AB与AB的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法.?

(3)利用集合间的包含关系判断,若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.?