Question

20．已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}（{n∈{N^*}}）$，则a_n=2n．

Answer 1

分析 把n=1代入已知的式子求出a₁的值，当n≥2时可得$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，利用a_n=S_n-S_n-1 两式作差后化简得到递推公式，由等差数列的定义和通项公式求出答案．

解答 解：由题意知，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$，
当n=1时，$4{S}_{1}={a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，
解得a₁=2或a₁=0（舍去），
当n≥2时，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}$，①
$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，②，
①-②得，$4{a}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n-1}$，
则${a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}-2（{{a}_{n}+a}_{n-1}）=0$，
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因为数列{a_n}各项均为正数，
所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}是以2为首项、公差的等差数列，
所以a_n=2+2（n-1）=2n，
故答案为：2n．

点评 本题考查数列前n项和与通项公式的关系：当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，数列的递推公式，以及等差数列的定义和通项公式的应用，考查化简、变形能力．