Question

已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先设出曲线E的方程，再确定圆的方程，利用圆C被x轴截得弦长的最小值为1，即可求曲线E的方程；
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B，代入圆的方程并整理，求导确定切线斜率，利用圆切线的性质可得方程，联立方程，即可求出切线方程．
解答：解：（Ⅰ）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y=-m为准线的抛物线，所以曲线E的方程为x²=4my．…（2分）
设动圆圆心为A（a，），则圆C方程为（x-a）²+（y-）²=（+m）²，
令y=0，得（x-a）²=+m²．
当a=0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m=，故曲线E的方程为x²=2y．…（5分）
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B（b，b²）．
圆C方程为（x-a）²+（y-a²）²=（a²+）²，
将点B坐标代入上式，并整理，得（b-a）²[1+（a+b）²]=（a²+1）²．①…（7分）
对y=x²求导，得y′=x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．
又直线AB的斜率k==（a+b）．
由圆切线的性质，有（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b²（b²-8）=0．
显然b≠0，则b=±2．…（9分）
所以存在题设的公共点B，其坐标为（±2，4），公切线方程为y=2（x-2）+4或y=-2（x+2）+4，即y=±2x-4．…（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．