Question

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有⇒3 （x₁-x₂） （x₁+x₂）+（y₁-y₂）=0．∴k_AB=-．∵N（1，3）是AB的中点∴k_AB=-1．由此能够求出直线AB的方程．
（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．由弦长公式可得|CD|=•|x₃-x₄|=．将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x²-8x+16-λ=0．同理可得|AB|=•|x₁-x₂|=．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．
解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x²-8x+16-λ=0，由此通过计算知•=0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆．
解答：解：（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，
代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，
∴△=4[λ（k²+3）-3（k-3）²]＞0，②
且x₁+x₂=．由N（1，3）是线段AB的中点，得x₁+x₂=2，
∴k（k-3）=k²+3解得k=-1，代入②得λ＞12，
即λ的取值范围是（12，+∞）．
于是直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有⇒3 （x₁-x₂） （x₁+x₂）+（y₁-y₂）=0．
依题意，x₁≠x₂，∴k_AB=-．
∵N（1，3）是AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，从而k_AB=-1．
又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1²+3²=12，
∴λ的取值范围是（12，+∞）．
直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中点为M（x，y），
则x₃，x₄是方程③的两根，
∴x₃+x₄=-1，且x==-，y=x+2=，即M（，）
于是由弦长公式可得|CD|=•|x₃-x₄|=．④
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x²-8x+16-λ=0．⑤
同理可得|AB|=•|x₁-x₂|=．⑥
∵当λ＞12时，＞，
∴|AB|＜|CD|．
假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．
点M到直线AB的距离为d===．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+=+==．
故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形，A为直角?|AN|²=|CN|•|DN|，
即=（||+d）（||-d）．⑧
由⑥式知，⑧式左边=，
由④⑦知，⑧式右边=（+）（-）=-=．
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）
解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12，
∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x²-8x+16-λ=0．⑤
解③和⑤式可得x_1，2=，x_3，4=，
不妨设A（1+，3-），
C（，），D（，）．
∴=（，），
=（，），
计算可得•=0，
∴A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴A、B、C、D四点共圆．
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．