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精英家教网 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,点N是BC的中点,点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为θ,
(1)当θ=90°时,求AM的长;
(2)当cosθ=
6
6
时,求CM的长.
分析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,设CM=t(0≤t≤2),通过
DN
n1
=0
DM
n1
=0
求出平面DMN的法向量为
n1
DA1
n2
=0
DN
n2
=0
求出平面A1DN的法向量为
n2
,推出
n1
n2
=-5t+1
(1)利用θ=90°求出M的坐标,然后求出AM的长.
(2)利用cos
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
以及cosθ=
6
6
,求出CM 的长.
解答:解:建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,设CM=t(0≤t≤2),则各点的坐标为A(1,0,0),A1(1,0,2),
N(
1
2
,1,0),M(0,1,t);
所以
DN
=(
1
2
,1,0).
DA1
=(1,0,2),
DM
=(0,1,t)
设平面DMN的法向量为
n1
=(x1,y1,z1),则
DN
 •
n1
=0
DM
n1
=0

即x1+2y1=0,y1+tz1=0,令z1=1,则y1=-t,x1=2t所以
n1
=(2t,-t,1),
设平面A1DN的法向量为
n2
=(x2,y2,z2),则
DA1
n2
=0
DN
n2
=0

即x2+2z2=0,x2+2y2=0,令z2=1则y2=1,x2=-2所以
n2
=(-2,1,1),
n1
n2
=-5t+1

(1)因为θ=90°,所以
n1
n2
=-5t+1=0
解得t=
1
5
从而M(0,1,
1
5
),
所以AM=
12+12+(
1
5
)
2
=
51
5

(2)因为|
n1
| =
5t2+1
|
n2
| =
6
所以,
cos
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
-5t+1
6?
×
5t2+1?

因为
n1
n2
=θ或π-θ,所以
-5t+1
6?
×
5t2+1?
=
6
6
解得t=0或t=
1
2

根据图形和(1)的结论,可知t=
1
2
,从而CM的长为
1
2

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点评:本题是中档题,考查直线与平面,直线与直线的位置关系,考查转化思想的应用,向量法解答立体几何问题,方便简洁,但是注意向量的夹角,计算数据的准确性.
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3
AB=
2
,则二面角A′-BD-A的大小为(  )
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2
a
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