Question

如图所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′两两垂直，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点，
（I）证明：EF⊥AH；    
（II）求四面体E-FAH的体积．

Answer 1

分析：（I）连接B'C，得△AB'C中EF是中位线，所以B'C∥EF．由线面垂直的判定与性质，可证出AH⊥平面BB'C'C，从而得到AH⊥B'C，结合平行线的性质可得EF⊥AH；
（II）取AB的中点I，连接FI．可得△ABB'中，FI∥BB'且FI=

1

2

BB'=1．结合BB'⊥平面ABC，得FI⊥平面ABC，可得FI是三棱锥F-AEH的高线．求出△AEH的面积，结合锥体体积公式，可得三棱锥F-AEH的体积，即为四面体E-FAH的体积．

解答：解：（I）连接B'C，
∵△AB'C中，E、F分别是AC、AB'的中点，∴B'C∥EF
∵BB'⊥平面ABC，AH⊆平面ABC，∴BB'⊥AH
∵△ABC中，AB=AC，H是BC的中点，∴BC⊥AH
又∵BB'、BC是平面BB'C'C内的相交直线
∴AH⊥平面BB'C'C
∵B'C⊆平面BB'C'C，∴AH⊥B'C
又∵B'C∥EF，∴AH⊥EF，即EF⊥AH；
（II）取AB的中点I，连接FI
∵△ABB'中，FI是中位线
∴FI∥BB'且FI=

1

2

BB'=1
∵BB'⊥平面ABC，
∴FI⊥平面ABC，可得FI是三棱锥F-AEH的高线
∵△ABC中，AB⊥AC且AB=AC=2
∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2，可得S_△AEH=

1

4

S_△ABC=

1

2

因此，三棱锥F-AEH的体积V=

1

3

S_△AEH×EI=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

∴四面体E-FAH的体积_VE-FAH=V_F-AEH=

1

6

点评：本题在特殊三棱柱中，证明线面平行并且求四面体的体积，着重考查了空间平行与垂直的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．