Question

已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．知NP为DM的垂直平分线，所以|ND|=|NM|，动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为2

2

的椭圆．由此能求出轨迹E的方程．
（Ⅱ）线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+b，由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根与系数的关系进行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0．
∴NP为DM的垂直平分线，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|DN|=2

2

＞2．（3分）
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为2

2

的椭圆．
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+b，
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2(b2-1)

1+2k2

（8分）
∵|AB|=2，∴

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴(1+k2)[(-

4kb

1+2k2

)2-

8(b2-1)

1+2k2

]=4，
∴

1

1+k2

=2(1-b2)，（11分）
∵1+k²≥1∴

1

2

≤b2＜1． （12分）
又点O到直线AB的距离h=

|b|

k2+1

，
∴S=

1

2

|AB|•h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=-2(b2-

1

2

)2+

1

2

（13分）
∴0＜S²≤

1

2

，∴0＜S≤

2

2

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．