Question

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=

2

，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D-ACF的体积．

Answer 1

分析：（1）由平面AC²=AE²+CE²平面，知AE⊥EC，由此能够证明BC⊥AE．
（2）设AC的中点为G，连接EG，由AE=CE，知EG⊥AC，由BC⊥平面AEC，知EG⊥BC，由此推导出点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离，由此能求出三棱锥D-ACF的体积．

解答：解：（1）∵平面AC²=AE²+CE²平面，
∴AE⊥EC，且平面ACE∩平面，AE⊥ECBF，BC⊥AC，
BC?平面BCEF，∴BC⊥平面AEC．…（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又AC=

2

，AE=EC=1，∴AC²=AE²+CE²
∴AE⊥EC…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
（2）设AC的中点为G，连接EG，∵AE=CE，∴EG⊥AC
由（1）知BC⊥平面AEC，∴BC⊥EG，即EG⊥BC，
又AC∩BC=C，∴EG⊥平面ABCD…（8分）
EF∥BC，EF?平面ABCD，
所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离
即点F到平面ABCD的距离为EG的长…（10分）
∴VD-ACF=VF-ACD=VE-ACD=

1

3

S△ACDEG，
∵S△ACD=

1

2

AC•AD=

1

2

×

2

×

2

=1EG=

1

2

AC=

2

2

∴VD-ACF=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

，
即三棱锥D-ACF的体积为

2

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．