Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有________（填上所有正确的序号）
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=e^x（x∈R）；③f（x）=；④f（x）=．

Answer 1

①③④
分析：根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②，或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．
解答：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②，或．
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则，∴，∴，
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则，∴，
构建函数g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f（x）=（x≥0），f′（x）==，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，
则，
，
∴，
∴2m，2n是方程loga（ax-）=2x的两个根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+=0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点较多，需要谨慎计算．