Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，M为AA₁上一动点．
（1）求证：AD⊥CC₁；
（2）若AM=MA₁，求证：AD∥平面MBC₁；
（3）若面MBC₁⊥面BB₁C₁C，求证：AM=MA₁．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵面B₁BCC₁⊥面ABC，面B₁BCC₁∩面ABC=BC
∴AD⊥面B₁BCC₁，
又∵CC₁?面B₁BCC₁，∴AD⊥CC₁；
（2）取BC的中点E，连接DE、ME
∵△CC₁B中，DE是中位线
∴DE∥CC₁，且DE=CC₁，
又∵平行四边形AA₁C₁C中，M是AA₁中点
∴AM∥CC₁，且AM=CC₁，
∴DE∥AM且DE=AM，可得四边形ADEM是平行四边形
∴AD∥EM，
∵AD?平面MBC₁且EM⊆平面MBC₁
∴AD∥平面MBC₁；
（3）过点M作ME⊥BC₁，垂足为E，连接EM
∵面MBC₁⊥面BB₁C₁C，面MBC₁∩面BB₁C₁C=BC₁，ME⊥BC₁，
∴ME⊥面BB₁C₁C，
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵面B₁BCC₁⊥面ABC，面B₁BCC₁∩面ABC=BC
∴AD⊥面B₁BCC₁，可得ME∥AD
设AD、EM确定的平面为α，
∵AM∥面BB₁C₁C，AM⊆α，α∩面BB₁C₁C=DE，
∴DE∥AM
∴四边形ADEM是平行四边形，可得AM=DE
∵△BCC₁中，DE∥CC₁且D为BC的中点，∴DE=CC₁，
因此，可得AM=CC₁=AA₁，故AM=MA₁．
分析：（1）等腰△ABC中，中线AD⊥BC，结合线面垂直的性质定理，可得AD⊥面B₁BCC₁，从而AD⊥CC₁；
（2）取BC的中点E，连接DE、ME．利用三角形中位线定理，结合平行四边形的性质，证出四边形ADEM是平行四边形，从而AD∥EM，可得AD∥平面MBC₁；
（3）过点M作ME⊥BC₁，垂足为E，连接EM．由线面垂直的性质定理，可得ME⊥面BB₁C₁C，结合AD⊥面B₁BCC₁，得ME∥AD．再根据线面平行的性质定理，证出DE∥AM，从而四边形ADEM是平行四边形．由此可得AM=DE=CC₁=AA₁，故AM=MA₁．
点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行和线面垂直．着重考查了线面平行的判定与性质，线面垂直、面面垂直的性质与判定等知识，属于中档题．