Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）对一切的实数x，y都成立，并且当x＞0时f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记g（x）=f²（x），求使g（3x-1）＜g（2x-9）成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），故f（0）=0．又令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），故f（-x）=-f（x），从而f（x）是奇函数；
（2）法一：因f（x）是奇函数，且当x＞0时f（x）＞0，故当x＜0时f（x）=-f（-x）＜0．又因为f（0）=0，所以x＞0?f（x）＞0，x＜0?f（x）＜0．由题得f²（3x-1）＜f²（2x-9）?[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0?f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0?或?或，解得-8＜x＜2．
法二：因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数，得g（x）=g（|x|），故g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．所以|3x-1|＜|2x-9|，平方可得（3x-1）²＜（2x-9）²?（x+8）（5x-10）＜0?-8＜x＜2．
法三：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数．
（1）当即时，有3x-1＜2x-9，解得x＜-8；
（2）当即时，有g（1-3x）＜g（9-2x），故1-3x＜9-2x，即x＞-8；
（3）当即时，有g（3x-1）＜g（9-2x），故3x-1＜9-2x，解得x＜2；
（4）当时，x∈Φ．综上可知-8＜x＜2．
分析：（1）可根据f（x+y）=f（x）+f（y）对一切的实数x，y都成立而采用赋值法，从而可判断其奇偶性；
（2）法一：根据f（x）是奇函数，且当x＞0时f（x）＞0?x＜0时f（x）＜0，反之亦然；即x＞0?f（x）＞0，x＜0?f（x）＜0；从而f²（3x-1）＜f²（2x-9）?[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0?f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0，继而可得，解得x的取值范围；
法二：利用f（x）是奇函数，可得g（x）是偶函数，从而得g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）；利用定义判断f（x）是R上的增函数，g（x）在[0，+∞）是增函数，于是可得|3x-1|＜|2x-9|，两端平方后即可解得x的取值范围；
法三：利用f（x）是R上的增函数，可证得g（x）在[0，+∞）是增函数，因再利用f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数，对3x-1与2x-9分同时大于或等于0，时小于或等于0，一个大于0而另一个小于0或一个小于0而另一个大于0四种情况分类讨论解决，最后取其并集即可解得x的取值范围．
点评：本题考查抽象函数及其应用，三种方法从三个不同的角度分析解决，第二种方法更值得学生学习，属于难题．