Question

6．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3S_n-5S_n-1=3（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数$f（x）=\frac{2x+3}{3x}$，作数列{b_n}，使b₁=1，${b_n}=f（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）$．（n≥2）求b_n的通项公式
（3）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，推出数列是等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用函数关系式，求出数列{b_n}是等差数列，然后求出通项公式．
（3）利用等差数列转化求解数列的和即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}3{S_n}-5{S_n}_{-1}=3\\ 3{S_{n+1}}-5{S_n}=3\end{array}\right.（n≥2）$，两式相减得3a_n+1-5a_n=0，
又∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{5}{3}（n≥2）$，又当n=2时，3S₂-5S₁=3，
得${a_2}=\frac{5}{3}$，即$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{3}$，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{5}{3}（n≥1）$，
∴数列{a_n}为等比数列${a_n}={（\frac{5}{3}）^{n-1}}$            …（4分）
（2）由已知得$f（x）=\frac{2x+3}{3x}$，∴${b_n}=f（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）=\frac{{\frac{2}{{{b_{n-1}}}}+3}}{{\frac{3}{{{b_{n-1}}}}}}={b_{n-1}}+\frac{2}{3}（n≥2）$，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项，$\frac{2}{3}$为公差的等差数列．
∴${b_n}=\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$…（8分）
（3）T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=$-2d（{b_2}+{b_4}+…+-{b_{2n}}）=-2×\frac{2}{3}[{n×\frac{5}{3}+\frac{n（n-1）}{2}×\frac{4}{3}}]$=$-\frac{8}{9}{n^2}-\frac{4}{3}n$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列与函数相结合，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．