Question

设椭圆+=1，a＞b＞0的左焦点为F₁，上顶点为A，过点A与AF₁垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，且P分向量所成的比为λ．
（1）当λ∈（1，2）时，探求椭圆离心率（-e）²的取值范围；
（2）当λ=时，过A、Q、F₁三点的圆恰好与直线L：x+y+3=0相切，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据P分向量所成的比为λ，可得点P的坐标，代入椭圆方程，再利用•=0，联立可表示出（-e）²，进而根据λ∈（1，2），可探求椭圆离心率（-e）²的取值范围；
（2）当λ=时，e-=-，故e=，a=2c．利用圆恰好与直线L：x+y+3=0相切，可求a=2，b=，从而得到椭圆方程
解答：解：（1）设Q（x，0），F₁（-c，0），A（0，b），
∵P分向量所成的比为λ，
∴P（，），∴（）²+（）²=1．        ①
而=（c，b），=（x，-b），•=0，
∴cx-b²=0．   ②
由①、②消去x，得（）²+（）²=1，
即λ²=（1+λ）²-1，即（-e）²=1+∈（2，3）．   
（2）当λ=时，e-=-，
∴e=，a=2c．
又∵△AF₁Q是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，
∴圆心为（，0）=（，0）=（c，0），
半径为r===a．
由圆恰好与直线L：x+y+3=0相切，得=a，
∴a=2，b=．
∴椭圆方程为+=1．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查了椭圆的标准方程，有一定的综合性．