Question

（04年湖北卷文）（12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于

点F.

（I）求证：A₁C⊥平BDC₁；

（II）求二面角B―EF―C的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，则AC是A₁C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥DC₁,又BD∩DC₁=D,

∴A₁C⊥平面BDC_1.

（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，

又E、F分别是AC、B₁C的中点，

解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A₁(1,1,1),C₁(0,0,1),D₁(1,0,1)

（Ⅱ）同（I）可证，BD₁⊥平面AB₁C.