Question

给出下列命题：
①“sinα-tanα＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件；
②平面直角坐标系中有三个点A（4，5）、B（-2，2）、C（2，0），则直线AB到直线BC的角为arctan

4

3

；
③函数f（x）=cos²x+

3

cos2x

的最小值为2

3

；
④设[m]表示不大于m的最大整数，若x，y∈R，那么[x+y]≥[x]+[y]．
其中所有正确命题的序号是

 

．（将你认为正确的结论序号都写上）

Answer 1

分析：①利用同角基本关系把tanα=

sinα

cosα

，进行化简判断．
②先求直线AB，BC的斜率，再利用到角公式进行求解．
③利用函数y=x+

3

x

的单调性进行求解．
④分x，y是否为整数进行分类讨论．

解答：解：①sinα-tanα＞0?sinα-

sinα

cosα

＞0?sinα×（1-

1

cosα

）＞0?

sinα

cosα

＜0?α 是第二或第四象限角，
α 是第二或第四象限角，z则sinαcosα＜0?sinα×（1-

1

cosα

）＞0?sinα-

sinα

cosα

＞0?sinα-tanα＞0，
故①正确；
②由题意可得，KAB=

1

2

，KBC= -

1

2

，由到角公式可得，直线AB到直线BC的角θ满足tanθ=

- 1 2 - 1 2

1+ 1 2 ×(- 1 2 )

=-

4

3

，
则直线AB到直线BC的角为π-arctan

4

3

，②错误；
③函数f（x）=cos²x+

3

cos2x

中，令t=cos²x∈[0，1]，函数在[0，1]单调递减，当t=1时函数有最小值4，③错误；
④若x，y中至少一个是整数，那么[x+y]=[x]+[y]，若x，y都不是整数，则[x+y]＞[x]+[y]，④正确；
故答案为：①④

点评：本题主要考查了三角函数的符合的确定，直线的斜率与到角公式，函数 y=x+

k

x

的单调性的应用，属于知识的综合考查．