Question

（2012•蓝山县模拟）设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{a_n}满足：a₁=f（1）+1，f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0．设S_n=a12a22+a22a32+a32a42+…+an-12an2+an2an+12．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{b_n}满足：bn2=g（

1

2n

），T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，所以a₁=f（1）+1=1．因为f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0，所以f（

1

4an-12

-

1

4an2

）=0=f（1）．由此能够求出数列{a_n}的通项公式，和S_n关于n的表达式．
（2）由于任意x，y∈R，都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，则g（2x）=2g（x）+2x²，故g（

1

2 n

）=

1

2 2n

，即bn2=

1

2 2n

．
由b_n＞0，知b_n=

1

2 n

，T_n=

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

=1-

1

2 n

，又4S_n=1-

1

4n+1

．由此能够得到当n=1，2，3，4时，4S_n＞T_n；当n≥5时，4S_n＜T_n．

解答：解：（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，
所以a₁=f（1）+1=1（1分）
因为f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0，
所以f（

1

4an-12

-

1

4an2

）=0=f（1）．
又因为y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
所以

1

4an+12

-

1

4an2

=1，
即

1

an+12

-

1

an2

=4，（3分）
所以数列{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列，
所以

1

an2

=4n-3，所以a_n=

1

4n-3

．
∵an2an+12=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[

1

4n-3

-

1

4n+1

]，
∴S_n=

1

4

[

1

1

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

]=

1

4

[1-

1

4n+1

]．（5分）
（2）由于任意x，y∈R都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，
则g（2x）=2g（x）+2x²，
∴g（1）=2g（

1

2

）+2•（

1

2

）²
=2[2g（

1

4

）+2•（

1

4

）²]+

1

2

=2²g（

1

4

）+

1

22

+

1

2

=2²[2g（

1

2 3

）+2•（

1

2 3

）²]+

1

2 2

+

1

2

=2³g（

1

2 3

）+

1

2 3

+

1

2 2

+

1

2

=…=2ⁿg（

1

2 n

）+

1

2 n

+

1

2 n-1

+

1

2 n-2

+…+

1

2 2

+

1

2

=1，
∴g（

1

2 n

）=

1

2 2n

，即bn2=

1

2 2n

．
又b_n＞0，∴b_n=

1

2 n

，（9分）
∴T_n=

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=1-

1

2 n

，又4S_n=1-

1

4n+1

．
当n=1，2，3，4时，4n+1＞2ⁿ，
∴4S_n＞T_n；（10分）
当n≥5时，2ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

＞1+2n+2×

n(n-1)

2

=1+n²+n．
而n²+n+1-（4n+1）=n²-3n=n（n-3）＞0，故4S_n＜T_n．（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．