Question

下列命题：
①中，若,则；
②若A，B，C为的三个内角，则的最小值为
③已知，则数列中的最小项为；
④若函数，且，则；
⑤函数的最小值为. 
其中所有正确命题的序号是        

Answer 1

②③

试题分析：①△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理
得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin²A，cos2B=1-2sin²B，
所以cos2A＞cos2B，①错误．
②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π
所以=1，
原式等价于
= ，
当且仅当，即α=2β时取等号．所以②正确．
③因为=2+，因为1≤≤3，
所以设t=，则1≤t≤3．因为函数y=t+-2在区间（0，4）上单调递减，所以在[1，3]上单调递减，因此，当t=3时，函数有最小值3+-2=，则对应数列{a_n}中的最小项为，所以③正确．
④令g（x）=，则函数g（x）的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知，分别看作函数f（x）=log₂（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，由图象可知，，所以④错误．
⑤因为，，问题转化成点P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距离之和的最小值。原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D（1，-2）．
则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为|PD|=．
所以，⑤错误．故答案为：②③．
点评：难题，本题综合性较强，难度较大。灵活的对问题实施转化，是解题的关键。