Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的取值范围是（1，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 利用双曲线定义|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₂|=r，推出|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．通过|PF₂|≥c-a，求出双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：根据双曲线定义|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₂|=r，
则|PF₂|=4r，故3r=2a，即r=$\frac{2a}{3}$，即|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．
根据双曲线的几何性质，|PF₂|≥c-a，即$\frac{2a}{3}≥c-a$，
即$\frac{c}{a}≤\frac{5}{3}$，即e≤$\frac{5}{3}$．又e＞1，
故双曲线的离心率e的取值范围是（1，$\frac{5}{3}$]．
故答案为：（1，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题考查双曲线定义以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．