Question

（1+x）ⁿ的展开式中，x^k的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数．下列各式的展开式中x⁸的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（　　）

A．（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）

B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）

C．（1+x）（1+2x²）（1+3x³）…（1+10x¹⁰）

D．（1+x）（1+x+x²）（1+x+x²+x³）…（1+x+x²+…+x¹⁰）

Answer 1

分析：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、指数和等于8 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个 x⁸．而各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示8克的方法，从而得出结论．

解答：解：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、
指数和等于8 的那些项的乘积构成，
有多少种这样的乘积，就有多少个 x⁸．
各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中，
选出若干个表示8克的方法．
故“从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．
使其总重量恰为8克的方法总数”，
就是“（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）”的展开式中x⁸的系数”，
故选 A．

点评：本题主要考查排列、组合、二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．