Question

8．求函数y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（2-x²）的定义域、值域及单调区间．

Answer 1

分析 利用2-x²＞0求解定义域，
设t=-x²+2，利用复合函数单调性之间的关系进行求解值域，单调区间即可

解答 解：设t=-x²+2，则由-x²+2＞0得，-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，即函数的定义域为（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∵t=-x²+2，t∈（0，2]，y=log_0.5t为减函数，
∴log_0.5t≥log_0.52=-1，
函数的值域为[-1，+∞）．
∵t=-x²+2对称轴x=0，
∴当x∈（-$\sqrt{2}$，0]，函数t=-x²+2增函数，此时函数y=log_0.5（-x²+2为减函数，
当x∈[0，$\sqrt{2}$），函数t=-x²+2为减函数，此时函数y=log_0.5（-x²+2）为增函数，
故函数的单调递增区间为[0，$\sqrt{2}$），单调递减区间为（-$\sqrt{2}$，0]．

点评 本题主要考查函数值域和单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键