Question

已知F为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，直线l过点F且与双曲线的两条渐进线l₁，l₂分别交于点M，N，与椭圆交于点A，B．
（Ⅰ）若，双曲线的焦距为4．求椭圆方程．
（Ⅱ）若（O为坐标原点），，求椭圆的离心率e．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由双曲线的两条渐近线的夹角以及双曲线的焦点位置可得到关于a，b的等式，再根据双曲线的焦距又可得到一个含a，b的等式，解得a，b的值，代入椭圆中，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）根据可知直线l垂直于l₁，因为l₁是双曲线的渐近线，可求出l₁的方程，再根据l垂直于l₁，就可得到l的斜率，再根据F点坐标求出直线l的方程，再由求出A点坐标，代入椭圆方程，就可得到关于a，c的齐次式，因为离心率e=，即可求出离心率e．
解答：解：（Ⅰ）∵双曲线的焦点在x轴上，
∴渐近线方程为y=±x
∴渐进线l₁的斜率为
又∵，M，N是直线l与双曲线两条渐近线l₁，l₂的交点，
∴渐进线l₁的倾斜角为，
∴，即
∵双曲线的焦距为4，
∴a²+b²=4．
把代入，得，a²=3，b²=1
∴椭圆方程为
（Ⅱ）解：设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）
∵，∴l⊥l₁
∵直线l₁的方程为y=x，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为
联立l₁，l方程，由解得
即点
设A（x，y），由，得
即，解得，
∴
∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得
即 （3c²+a²）²+a⁴=16a²c²，
∴（3e²+1）²+1=16e²，即9e⁴-10e²+2=0
解得
∴
椭圆的离心率是
点评：本题（Ⅰ）主要考查了双曲线的渐近线方程，以及双曲线中a，b，c之间的关系的应用．（Ⅱ）考查了直线与圆锥曲线关系的判断，以及椭圆离心率的求法．