Question

7．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C在该极坐标系下的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（x，y）在曲线C上，当x-y取得最小值时，求点P的极坐标．（ρ＞0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）利用圆的参数方程得$x-y=2\sqrt{2}（cosα-sinα）$+4=4sin（$α+\frac{3π}{4}$）+4，由此能求出当x-y取得最小值时点P的极坐标．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
∴x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8．
（2）∵点P（x，y）在曲线C：（x-2）²+（y+2）²=8上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}cosα}\\{y=-2+2\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π．
∴$x-y=2\sqrt{2}（cosα-sinα）$+4=4sin（$α+\frac{3π}{4}$）+4，
∴当$α+\frac{3π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，$α=\frac{3π}{4}$时，x-y取最小值0，
此时$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}×cos\frac{3π}{4}=0}\\{y=-2+2\sqrt{2}sin\frac{3π}{4}=0}\end{array}\right.$，∴P（0，0），
∴ρ=0，$θ=\frac{π}{2}$，∴点P的极坐标P（0，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．