Question

15．已知圆$E：{x^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{9}{4}$，经过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F₁，E，A三点共线，则该椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 F₁，E，A三点共线，AF₂⊥x轴，|F₁A|=$2×\frac{3}{2}$=2a．把x=c代入椭圆方程解得A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．由O为线段F₁F₂的中点，利用中位线定理可得|AF₂|=2|OE|，$\frac{{b}^{2}}{a}$=1，$2×\frac{3}{2}$=2a-1，a²=b²+c²，解出即可得出．

解答 解：∵F₁，E，A三点共线，∴AF₂⊥x轴，|F₁A|=$2×\frac{3}{2}$．
把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．
∵O为线段F₁F₂的中点，∴|AF₂|=2|OE|，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=1，$2×\frac{3}{2}$=2a-1，a²=b²+c²，
解得a=2，b²=2．
∴该椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．