Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣1,3）
【解析】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x，

有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣ex=﹣g（x），则g（x）为奇函数，

对于g（x）=ex﹣e﹣x，其导数g′（x）=ex+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，

且g（0）=e0﹣e0=0，

f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），

又由函数g（x）为增函数，

则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0

解可得：﹣1＜x＜3，

即实数x的取值范围为（﹣1，3）；

所以答案是：（﹣1，3）．

【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．