Question

20．已知关于x的方程x-3=a（x+2）（x-1）至少有一个比3大的根．求a的取值范围．

Answer 1

分析 令f（x）=ax²+（a-1）x-2a+3，则它至少有一个比3大的根，根据a的符号，利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．

解答 解：关于x的方程x-3=a（x+2）（x-1），即 ax²+（a-1）x-2a+3=0，根据它至少有一个比3大的根，
令f（x）=ax²+（a-1）x-2a+3，
当a＞0时，有f（3）=10a＜0 ①，或$\left\{\begin{array}{l}{△{=（a-1）}^{2}-4a（-2a+3）≥0}\\{\frac{1-a}{2a}＞3}\\{f（3）＞0}\end{array}\right.$ ②，
解①求得 a∈∅，解②求得0＜a＜$\frac{1}{7}$．
当a＜0时，有f（3）=10a＞0③，或$\left\{\begin{array}{l}{△{=（a-1）}^{2}-4a（-2a+3）≥0}\\{\frac{1-a}{2a}＞3}\\{f（3）=10a＜0}\end{array}\right.$ ④．
解③求得a∈∅，解④求得 a＜0．
综上可得，0＜a＜$\frac{1}{7}$ 或a＜0．

点评 本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．