Question

已知函数f（x）=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

（x∈（0.

π

2

）∪（

π

2

，π））
（1）化简函数f（x）并求f（

π

4

）的值；
（2）求函数f（x）在（

π

2

，π）上的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（1）根据同角平方关系，分别在被开方数上乘以1-sinx，1-cosx，根据已知的x的范围进行化简可得．
（2）结合（1）可得，f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，结合正弦函数的图象及性质进行求解．

解答：解：（1）f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx) 2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

（3分）
=

2-sinx-cosx  ，x∈(0 π 2 ) sinx-cosx      ，x∈( π 2 ，π)

（6分）
∴f(

π

4

) =2-

2

（7分）
（2）当x∈(

π

2

，π)时，f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)（8分）
当x∈(

π

2

，π)时，x-

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)故当x∈(

π

2

，

3π

4

)时，函数f（x）单调递增，
当x∈(

3π

4

，π)时，函数f（x）单调递减；（11分）函数的值域是（1，

2

）．（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的平方关系的运用，考查了三角函数的值域及单调区间的求解，属于基础知识的简单综合．