Question

（理科）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，S_n=

1

2

a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是数列{a_n}的前n项的和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{b_n}满足b_n=1，

bk+1

bk

=

k-p

ak+1

（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化简b₁+b₂+b₃+…+b_p．

Answer 1

分析：（1）由sn=

1

2

an•an+1可得sn-1=

1

2

an-1•an，两式相减，可求得a_n．
（2）由（1）已求得a_n=n，

bk+1

bk

=

k-p

ak+1

=

k-p

k+1

，b₁=1，可以求得b₂，b₃，…用归纳法可求得b_k；
（3）由bk=-

1

p

(-1)k

c

k p

可得b₁+b₂+…+b_p的式子，然后利用组合数的性质可以解决问题．

解答：解：（1）∵sn=

1

2

an•an+1，（n∈N^*），
∴sn-1=

1

2

an-1•an．
∴a_n=

1

2

a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首项为a₂，公差为2的等差数列；
 a₁，a₃，…a_2n-1是首项为a₁，公差为2的等差数列．
又a1=1，s1=

1

2

a1a2，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
所以，所求数列的通项公式为：a_n=n．
（2）∵p是给定的正整数（p≥2），

bk+1

bk

=

k-p

ak+1

（k=1，2，3，…p-1），
∴数列{b_k}是项数为p项的有穷数列．
b₁=1，

bk+1

bk

=

k-p

k+1

（k=1，2，3，…p-1），
∴b₂=（-1）

p-1

2

，b₃=（-1）²

(p-1)(p-2)

3•2

，b₄=（-1）³

(p-1)(p-2)(p-3)

4•3•2

，…，
 归纳可得bk=(-1)k-1

(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)

k!

(k=1，2，3，…p)．
（3）由（2）可知bk=(-1)k-1

(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)

k!

(k=1，2，3，…p)，
 进一步可化为bk=-

1

p

(-1)k

C

k p

(k=1，2，3，…p)．
所以，b₁+b₂+b₃+…+b_p-1+b_p
=-

1

p

[(-1)

C

1 p

+(-1)2

C

2 p

+(-1)3

C

3 p

+…+(-1)p

C

p p

]
=-

1

p

[

C

0 p

+(-1)

C

1 p

+(-1)2 

C

2 p

+(-1)3

C

3 p

+…+(-1)p

C

p p

-1]
=-

1

p

[(1-1)p-1]
=

1

p

．

点评：本题考查数列的递推关系，考查归纳法，解决的难点在于归纳法的选择与灵活应用，特别是第（3）问中，组合数性质的转化与运用更是难点，属于难题．