【错解分析】由对称轴是x=
,可知2×
+φ使f(x)取最值,即
+φ=kπ+
.(k∈Z),从而可求φ;由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2,直线5x-2y+c=0的斜率为
>2说明直线和f(x)的图象不能相切.
【正解】(Ⅰ)解法1:因为x=
是函数y=f(x)的图像的对称轴,
所以sin(2·
+φ)=±1, 则有
+φ=kπ+
,k∈Z.
因为-π<φ<0, 所以φ=-
解法2:函数y="sin" 2x图像的对称轴为x=
+
,k∈Z.
y=sin(2x+φ)的图像由y="sin" 2x的图像向左平移
得到,
所以有
+
-
=
k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=
.
解法3:因为x=
是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(
-x)=f(
+x).
即sin[2(
-x)+φ]=sin[2(
+x)+φ],
于是有2(
-x)+φ=2kπ+2(
+x)+φ(舍去),
或[2(
-x)+φ]+[2(
+x)+φ]=2kπ+π.
因为-π<φ<0,∴φ=
(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)知φ=-
π,因此y=sin(2x-
π),
由题意得2kπ-
≤2x-
π≤2kπ+
,(k∈Z),
所以函数y=sin(2x-
π)的单调增区间为[kπ+
kπ+
π],k∈Z,
解法2:由y′=2cos(2x-
π)≥0可得,2kπ-
≤2x-
π≤2kπ+
k∈Z,
所以函数y=sin(2x-
π)的单调增区间为[kπ+
,kπ+
π] k∈Z,
(Ⅲ)解法1:因为|y′|=|[sin(2x-
π)]′|=|2cos(2x-
π)|≤2,
所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],而直线5x-2y+c=0的斜率
>2,
所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-
π)的图象不相切.
解法2:令F(x)=sin(2x-
π)-
,
则F′(x)=2cos(2x-
π)-
,
∵-1≤cos(2x-
π)≤1,F′(x)≠0.
则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-
π)的图像不相切.
【点评】本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题,第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义,涉及的都是一些基本的概念,也是每个同学应该掌握的.