Question

【题目】已知 为常数）， ，且当x1 ， x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：依题意知，当x1 ， x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min ， 由“对勾'函数单调性知， =2x+ =2（x+ ）在区间[1，4]上单调递增，
∴g（x2）min=g（1）=3；
∵ =2ax2+2x，
当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；
∴f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=﹣ ，
当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；
当a＜0时，
1°若﹣ ≤1，即a≤﹣ 时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，
f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣ 时满足题意；
2°若1＜﹣ ＜4，即﹣ ＜a＜﹣ 时，f（x）max=f（﹣ ）=﹣ ≤3，解得：﹣ ＜a≤﹣ ；
3°若﹣ ≥4，即﹣ ≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，
f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤﹣ （﹣ ，0），故不成立，
综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣ ]．
所以答案是： ．