Question

（1）18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系．请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体…），归纳出F、V、E之间的关系等式：

V+F-E=2

；
（2）运用你得出的关系式研究如下问题：一个凸多面体的各个面都是三角形，则它的面数F可以表示为顶点数V的函数，此函数关系式为

F=2V-4

．

多面体	面数（F）	顶点数（V）	棱数（E）
三棱锥	4	4	6
三棱柱	5	6	…
正方体	…	…	…
…	…	…	…

Answer 1

分析：（1）通过列举正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：V+F-E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
（2）根据各个面都是三角形的多面体的构造特点及欧拉公式V+F-E=2可得函数关系式．

解答：解：（1）凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，举例如下
①正方体：F=6，V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F-E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：V+F-E=2
（2）一个多面体的各个面都是三角形，这个多面体的棱数E=

3

2

F，
∵V+F-E=2，
∴V+F-

3

2

F=2，
∴F=2V-4．
故答案为：V+F-E=2；F=2V-4．

点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．