Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求证：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求证：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A﹣BCF的体积．

Answer 1

证明：（1）已知如图：

∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，
平面DEFG∩平面ADEB=DE
∴AB∥DE．
∵AB=DE
∵AB=DE，
∴ADEB为平行四边形，
BE∥AD．
∵AD⊥平面DEFG，
∴BE⊥平面V，
∵BE平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG．
（2）取DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴，
又∵，
∴
∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，
又BF平面ACGD
故BF∥平面ACGD．
解：（3）∵平面ABC∥平面DEFG，则F到面ABC的距离为AD．∴=．