Question

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)=

1

2

x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  4

• C、

  3

  4

• D、

  7

  8

Answer 1

分析：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=

1

2

x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．

解答：解析：函数f(x)=

1

2

x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，
所以f（-1）f（1）＜0，即b2＜(a+

1

2

)2，
也就是b＜a+

1

2

，
故a，b满足

0≤a≤1 0≤b≤1 a-b+ 1 2 ＞0

图中阴影部分的面积为S1=1-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

7

8

所以，函数f(x)=

1

2

x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为P=

S1

S

=

7

8

故选D．

点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．